Séquence orthonormale complète

1. Qu'est-ce que la séquence orthonormale complète?
2. Est un espace Hilbert complet?
3. Est un espace Hilbert fermé?
4. Est rn un espace hilbert?

Qu'est-ce que la séquence orthonormale complète?

Définition ‍14 Une séquence orthonormale (E_je) Dans un espace hilbert h est complet si les identités ⟨y, e_k ⟩ = 0 pour tous les k impliquent y = 0. Une séquence orthonormale complète est également appelée base orthonormale en h. Théorème ‍15 ‍ (sur une base orthonormale) Soit E_je être une base orthonormale dans un espace hilber h. Alors pour tout x∈ H nous avons. x =

Est un espace Hilbert complet?

Ainsi, tout espace de produit intérieur est un espace linéaire normal. Nous utiliserons toujours la norme définie dans (6.1) sur un espace produit intérieur. Définition 6.2 Un espace Hilbert est un espace de produit intérieur complet.

Est un espace Hilbert fermé?

(b) Chaque sous-espace dimensionnel fini d'un espace Hilbert H est fermé. Par exemple, si M désigne la portée de nombreux éléments finis x1, ... . xn en h, puis l'ensemble m de toutes les combinaisons linéaires possibles de ces éléments est dimensionnelle finie (de dimension n), donc elle est fermée en h.

Est rn un espace hilbert?

Par exemple, RN est un espace Hilbert sous le produit DOT habituel: 〈V, W〉 = V · W = V1W1 + ··· + VNWN. Plus généralement, un espace de produit intérieur de dimension finie est un espace Hilbert. Le théorème suivant fournit des exemples d'espaces Hilbert dimensionnels infinis.