Transformée de Fourier de la preuve de la convolution

1. Quelle est la transformée de Fourier de la convolution?
2. Comment prouvez-vous le théorème de la convolution?
3. Comment la transformée de Fourier de la convolution de deux fonctions calculée?
4. Quelle est la signification de la propriété Convolution de Fourier Transform?

Quelle est la transformée de Fourier de la convolution?

Le théorème de la convolution (avec les théorèmes connexes) est l'un des résultats les plus importants de la théorie de Fourier qui est que la convolution de deux fonctions dans l'espace réel est le même que le produit de leurs transformations de Fourier respectives dans l'espace de Fourier, i.e. f (r) ⊗ ⊗ g (r) ⇔ f (k) g (k) .

Comment prouvez-vous le théorème de la convolution?

Preuve du théorème de la convolution

Notez, dans l'équation ci-dessous, que l'intégrale de la convolution est repris la variable x pour donner une fonction de u. La transformée de Fourier implique alors une intégrale sur la variable u. Maintenant, nous substituons une nouvelle variable w pour u-x. Comme ci-dessus, les limites d'intégration infinies ne changent pas.

Comment la transformée de Fourier de la convolution de deux fonctions calculée?

Nous venons de montrer que la transformée de Fourier de la convolution de deux fonctions est simplement le produit des transformations de Fourier des fonctions. Cela signifie que pour les systèmes linéaires et invariants, où la relation d'entrée / sortie est décrite par une convolution, vous pouvez éviter la convolution en utilisant des transformations de Fourier.

Quelle est la signification de la propriété Convolution de Fourier Transform?

De plus, la propriété Convolution met en évidence le fait qu'en décomposant un signal en une combinaison linéaire d'exponenties complexes, que la transformée de Fourier fait, nous pouvons interpréter l'effet d'un système linéaire et invariant comme une simple mise à l'échelle des amplitudes (complexes) de chaque de ces exponentielles par une échelle ...