Argument imaginaire de la fonction gamma

1. Pouvez-vous utiliser la fonction gamma pour des nombres complexes?
2. Comment trouvez-vous la fonction gamma d'un nombre complexe?
3. Quelle est la valeur du gamma γ ½?
4. Quelle est la valeur de γ 2?

Pouvez-vous utiliser la fonction gamma pour des nombres complexes?

La fonction gamma est étendue à tous les nombres complexes, avec une partie réelle >0, sauf pour zéro et entiers négatifs. La figure 1 donne la courbe de la fonction gamma (eqn. 2). Chez les entiers négatifs, la fonction gamma a des pôles simples, ce qui en fait une fonction méromorphe (figure 1).

Comment trouvez-vous la fonction gamma d'un nombre complexe?

La fonction gamma est définie par γ (z) = ∫∞0tz - 1e - tdt lorsque ℜz>0.

Quelle est la valeur du gamma γ ½?

La clé est que γ (1/2) = √π.

Quelle est la valeur de γ 2?

De même, en utilisant une technique de calcul connue sous le nom d'intégration par parties, on peut prouver que la fonction gamma a la propriété récursive suivante: si x > 0, puis γ (x + 1) = xγ (x). À partir de cela, il s'ensuit que γ (2) = 1 γ (1) = 1; Γ (3) = 2 γ (2) = 2 × 1 = 2!; Γ (4) = 3 γ (3) = 3 × 2 × 1 = 3!; etc.